Lanternes (Lights Out) : la logique cachée derrière le casse-tête
Vous touchez une lanterne, et trois autres changent en même temps. Ce jeu déroutant obéit en réalité à des règles mathématiques très simples.
Un jouet électronique des années 90
Le principe de Lanternes vient d'un jouet électronique, Lights Out, vendu par Tiger Electronics à partir de 1995. Il présentait une grille de 5×5 boutons lumineux. Le but : tout éteindre, alors que chaque bouton change aussi l'état de ses voisins. Le jeu a beaucoup intéressé les mathématiciens, qui y ont trouvé un excellent exemple d'algèbre linéaire.
Deux propriétés qui changent tout
1. L'ordre des coups n'a pas d'importance. Toucher la lanterne A puis B donne exactement le même résultat que B puis A. Chaque lanterne finale dépend seulement du nombre de fois où l'on a touché elle-même et ses voisines.
2. Toucher deux fois la même lanterne ne sert à rien. Le deuxième coup annule le premier. Une solution consiste donc simplement à choisir un ensemble de cases à toucher une fois chacune.
Ces deux idées suffisent à comprendre qu'il n'y a pas besoin de « chance » : chaque grille a une solution précise, et il suffit de la trouver.
La méthode de la chasse aux lumières
C'est la méthode la plus connue pour résoudre n'importe quelle grille sans calcul compliqué :
- Regardez la rangée du haut. Pour chaque lanterne allumée, touchez la lanterne juste en dessous. La rangée du haut s'éteint entièrement.
- Faites la même chose avec la deuxième rangée, en touchant la troisième, et ainsi de suite jusqu'en bas.
- À la fin, toutes les lumières sont « chassées » dans la dernière rangée.
- Si la dernière rangée n'est pas vide, notez quelles lanternes y restent allumées. Selon ce motif, il faut toucher certaines cases de la première rangée, puis recommencer la chasse depuis le haut.
Avec un peu d'entraînement, on retient les motifs de la dernière rangée et les cases du haut qui les corrigent. Sur une grille 5×5, une recherche sur « Lights Out chasing the lights » donne le tableau complet.
L'astuce mathématique
Les mathématiciens représentent la grille comme une liste de 0 (éteint) et de 1 (allumé), et chaque coup comme une addition où 1+1=0. Résoudre le jeu revient alors à résoudre un système d'équations. Sur Lomé Arcade, le jeu garde en mémoire les cases touchées pour créer la grille : c'est ainsi que le bouton Indice sait toujours quelle case fait partie d'une solution.
Une conséquence étonnante : sur certaines tailles de grille, toutes les configurations ne sont pas solubles. Sur Lomé Arcade, chaque grille est créée en partant d'une grille éteinte et en touchant des cases au hasard. Elle a donc toujours au moins une solution.
Conseils
- Le nombre « Objectif » indique combien de coups suffisent. Essayez de faire aussi bien pour obtenir trois étoiles.
- Sur les petites grilles, réfléchissez case par case ; sur les grandes, utilisez la chasse aux lumières.
- Si vous êtes perdu, utilisez l'indice : il ne donne qu'une case à la fois.